凱利公式完整指南：f* = (bp − q) / b 拆解 + Half Kelly 為何業界標準

引言：為什麼莊家最怕你會用凱利公式

平注玩家被莊家 carry。連敗加倍（Martingale）玩家 bankroll 歸零。 所有違反凱利公式的注碼策略長期都會被 variance 殺掉。 凱利公式是數學唯一證明能最大化長期 bankroll 成長率的注碼策略、 並且在 1962 年被 Edward Thorp 用在 21 點實證、之後變成 Wall Street 量化基金的標配。

這篇 pillar 從凱利數學原理、公式拆解、手算範例、 Full / Half / Quarter 三種變形對比、到實戰銀行管理 3 原則、一次拆完。 看完你就能對任何「我每場該下多少」的問題給出有數學根據的答案。

凱利公式的數學原理

John Kelly 1956 年的論文 「A New Interpretation of Information Rate」提出一個簡單問題：給定有 edge 的賭局（正 EV）、怎麼下注能讓 bankroll 長期成長最快？

他用對數效用函數（log utility）證明、最佳注碼比例 f* 滿足：

f* = (b × p − q) / b

其中：

• f*：最佳注碼佔 bankroll 的比例（0 到 1）
• b：賺到的賠率比例（decimal odds − 1、例：1.90 → b = 0.90）
• p：你贏的真實機率
• q：你輸的機率（= 1 − p）

分子 (b × p − q) 是 EV per unit、分母 b 是賠率乘數。 當 EV ≤ 0（即 b × p ≤ q）、f* ≤ 0、意思是不該下注。 Kelly 公式天生防呆 ——負 EV 場自動算出 0% 或負值、提醒你別碰。

公式拆解：每個變數怎麼來

變數 1：b（賠率比例）

decimal odds 1.90 表示「賭 1 元贏的話拿回 1.90 元、淨賺 0.90 元」、所以 b = 0.90。 賠率越高 b 越大、f* 越大。賠率 2.50 → b = 1.50；賠率 3.00 → b = 2.00。

變數 2：p（真實勝率）

這是凱利公式最容易出錯的變數。p 必須是真實勝率、不是莊家隱含機率。 莊家隱含機率 = 1 / 賠率（含 vig）、比真實機率偏高。 如果你拿莊家隱含機率代入 Kelly、算出來的 f* 永遠等於負（或趨近 0）、因為 EV 已經被 vig 吃掉。

真實勝率怎麼來？三條路：

• 自己跑 ELO + xG model 估
• 用 Pinnacle 賠率反推（Pinnacle vig 1-2%、最接近真實）
• 用 OddsForge 五信號融合 confidence 對應的真實機率（confidence 75 ≈ 58-62%）

變數 3：q（輸的機率）

q = 1 − p。對於可能 push（讓 -1 強隊正好贏 1 球退本金）的盤、嚴格說要拆三狀態、 但實戰上把 push 機率算進 q × 0（不賺不賠）、用簡化版即可。

手算範例：凱利公式實戰

範例 1：標準正 EV 場

場次：英超 利物浦讓紐卡 -0.5、賠率 1.90。OddsForge 估真實勝率 p = 58%。

計算：

• b = 1.90 − 1 = 0.90
• p = 0.58、q = 0.42
• f* = (0.90 × 0.58 − 0.42) / 0.90 = (0.522 − 0.42) / 0.90 = 0.102 / 0.90 = 0.113

Full Kelly 建議押 bankroll 的 11.3%。Half Kelly = 5.7%、Quarter Kelly = 2.8%。 bankroll 10 萬 → Full 押 1.13 萬、Half 押 5,700、Quarter 押 2,800。

範例 2：低勝率高賠率場

場次：歐冠冷門隊讓 +2.5、賠率 3.50。真實勝率估 p = 35%。

計算：

• b = 3.50 − 1 = 2.50
• p = 0.35、q = 0.65
• f* = (2.50 × 0.35 − 0.65) / 2.50 = (0.875 − 0.65) / 2.50 = 0.225 / 2.50 = 0.090

Full Kelly 押 9.0%、Half = 4.5%。即使勝率只 35%、因為賠率高、Kelly 仍給正注碼。 但 variance 很大、Half Kelly + 5% 上限 = 實際押 4.5%。

範例 3：邊際 EV 場（避免下注的信號）

場次：盤口賠率 1.85、真實勝率估 p = 53%。

計算：

• b = 0.85、p = 0.53、q = 0.47
• f* = (0.85 × 0.53 − 0.47) / 0.85 = (0.4505 − 0.47) / 0.85 = −0.023

f* 為負、Kelly 告訴你不要下這場。EV 是負的 −2.3%、跟著押長期一定輸。

Full Kelly vs Half Kelly vs Quarter Kelly 對比

三種變形只差在乘數：Full Kelly 用 f*、Half Kelly 用 f* × 0.5、Quarter Kelly 用 f* × 0.25（更保守、適合新手與小 bankroll）。 我們拿 2026-04-23～05-04 已結算的 79 筆推薦跑過注碼回測（沒有跑 Quarter Kelly）： 全凱利 −45.5%（最大回撤 47.7%）、半凱利 −25.2%（26.7%）、固定 1% −13%（14.5%）；只跟高信心時半凱利 +0.2%、固定 1% +0.8%。

注碼法不會把負期望值的選擇變成正的，乘數越大只是輸得越快。 Half Kelly 用 75% 的成長率換 50% 的回撤、是 industry standard。 完整回測細節看 凱利 vs 半凱利 vs 固定比例：注碼策略回測。

為什麼 Half Kelly 是業界標準

Edward Thorp 在 1997 年論文 「The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting and the Stock Market」提出三個核心論點、解釋為什麼專業玩家都用 Half Kelly：

1. 勝率估計誤差容錯：你估的 p 不可能 100% 準。 如果真實 p = 0.55 但你估 0.58、Full Kelly 算出的注碼會超過最佳 30%、 長期成長率反而下降（over-bet 比 under-bet 傷害大很多）。 Half Kelly 提供 cushion、即使估錯 5-10% 仍能達到 80%+ 最佳成長率。
2. Variance 縮成一半但成長率只損失 25%： Thorp 數學證明 Half Kelly 的長期 growth rate 是 Full Kelly 的 75%、 但 variance（回撤）只有 50%。報酬 / 風險比實際比 Full Kelly 好。
3. 心理可承受：Full Kelly 的回撤深到大部分人會中途放棄、 Half Kelly 的回撤淺得多、比較撐得過去。能撐到 long-run 才能拿到 EV、撐不到 = 永遠拿不到。

延伸：bankroll < 5 萬的小玩家、單注上限 + Quarter Kelly 才合理、 因為小 bankroll 對 variance 的容忍度更低、必須更保守。

銀行管理 3 原則（凱利之外的護欄）

凱利公式只是數學最佳解、實戰要加 3 道護欄：

原則 1：單注上限 5% bankroll

即使凱利算出 8%、實戰最高也只押 5%。原因：

• 勝率估計有誤差、不要 over-trust 自己的 p
• 單場黑天鵝（紅牌、誤判、暴雨）會 distort 任何 model
• 連敗 5 場 × 5% = bankroll 縮 22.6%、心理還撐得住；× 8% = 縮 34%、會崩

原則 2：月停損 −15%、月停利 +25%

Kelly 不會自動停損 —— bankroll 縮 50% 它還繼續算注碼。 加上 emotional protection layer：單月跌 −15% 暫停一週、month-end review； 單月漲 +25% 注碼降至 60% 鎖獲利、避免 hot hand fallacy。 看 10 萬本金最大化策略有具體 stop-loss / take-profit 表。

原則 3：勝率估計保守 5%

最危險的錯是「我覺得我估的 p 很準」。實戰建議把 OddsForge confidence 對應的勝率調降 5%再代入 Kelly。 例：confidence 80 → 真實勝率 62-67%、保守取 60% 代入。 這樣 Kelly 算出的注碼天生帶 cushion、即使真實 p 比你估的低 5% 也不會 over-bet。

凱利公式的常見誤用

4 個玩家最常踩的雷：

1. 用莊家隱含機率代入 p：等於賭莊家算錯、永遠負 EV。必須用獨立 model 估真實 p。
2. 多場相關性沒考慮：同一天 5 場英超主隊、Kelly 各算各的、加起來可能押 30% bankroll。 相關場分次 Kelly 計算後、再 × 0.5-0.7 縮減。
3. 連勝後加注追：Kelly 公式是基於 bankroll 比例、bankroll 大了注碼絕對金額自動加。 不要再額外加倍、那是 hot hand fallacy。
4. 連敗後 chase：連敗時 bankroll 縮、Kelly 自動縮注碼。不要違反公式硬加倍追回。

結語：凱利公式是長期玩家的 GPS

EV 告訴你「該不該下」、Kelly 告訴你「該下多少」、兩個工具缺一不可。 新手從 Quarter Kelly + 單注上限 3% 開始；bankroll ≥ 5 萬後升 Half Kelly + 5% 上限； 加上月停損 / 停利規則、長期 ROI 能跑出來。直接用 凱利公式計算器輸入 confidence、賠率、bankroll、 立刻拿到具體金額。看 凱利公式詞彙表有完整定義。

延伸閱讀：

• 凱利 vs 半凱利 vs 固定比例：注碼策略回測
• 10 萬本金的最大化策略
• 連敗 7 場是正常的